高数第八章笔记（高等数学笔记考研用武大本吗）

在高等数学的学习中，多元函数微分学是继一元函数微分学之后的又一个重要章节。它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在物理、工程、经济等多个领域都有广泛的应用。本文将对高数第八章的主要内容进行梳理，帮助大家更好地理解和掌握多元函数微分学的知识。

一、多元函数的基本概念

在多元函数微分学中，我们首先需要了解多元函数的基本概念。多元函数是指具有两个或两个以上自变量的函数，例如二元函数(f(x,y))或三元函数(g(x,y,z))等。与一元函数相比，多元函数的图像不再是一条曲线，而是一个曲面。

1.多元函数的极限

多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值趋于一个确定的数值。与一元函数类似，多元函数的极限也分为去心极限和累次极限两种。

2.多元函数的连续性

多元函数的连续性是指在自变量的某一点附近，函数值与极限值相等。多元函数的连续性可以通过极限存在且相等来判断。

二、偏导数与全微分

偏导数是多元函数微分学中的核心概念之一。它描述了函数在某一点沿坐标轴方向的变化率。

1.偏导数的定义

对于二元函数(f(x,y))，其对(x)的偏导数(frac{partialf}{partialx})表示函数沿(x)轴方向的变化率，同理，对(y)的偏导数(frac{partialf}{partialy})表示沿(y)轴方向的变化率。

2.全微分的概念

全微分是多元函数在某一点处的线性主部，它描述了函数值在该点附近的变化情况。对于二元函数(f(x,y))，其全微分(df)可以表示为：

df=(frac{partialf}{partialx}cdotdx)+(frac{partialf}{partialy}cdotdy)

三、多元函数的微分法

多元函数的微分法主要包括偏导数的运算法则、复合函数的偏导数、隐函数的偏导数等。

1.偏导数的运算法则

偏导数的运算法则与一元函数的导数运算法则类似，包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则等。

2.复合函数的偏导数

复合函数的偏导数可以通过链式法则来求解。例如，对于复合函数(f(g(x,y)))，其偏导数可以表示为：

frac{partialf}{partialx}=frac{partialf}{partialg}cdotfrac{partialg}{partialx}

frac{partialf}{partialy}=frac{partialf}{partialg}cdotfrac{partialg}{partialy}

3.隐函数的偏导数

隐函数的偏导数求解较为复杂，需要利用隐函数的存在定理和求导法则。例如，对于隐函数(F(x,y,z)=0)，其对(x)的偏导数可以表示为：

frac{partialz}{partialx}=-frac{frac{partialF}{partialx}}{frac{partialF}{partialz}}

四、多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值问题是多元函数微分学的一个重要应用。通过求解多元函数的偏导数，可以找到函数的驻点，进而判断函数的极值和最值。

1.驻点的求解

驻点是指函数的偏导数同时为零的点。对于二元函数(f(x,y))，其驻点可以通过求解方程组(frac{partialf}{partialx}=0)和(frac{partialf}{partialy}=0)来得到。

2.极值的判断

驻点可能是局部极值点，也可能是鞍点。可以通过二阶偏导数的符号来判断驻点的性质。例如，对于二元函数(f(x,y))，如果(f_{xx}>0)且(f_{yy}>0)且(f_{xy}^2

3.最值的求解

多元函数的最值问题通常需要结合边界条件和驻点来判断。在实际应用中，最值问题往往需要转化为优化问题，通过拉格朗日乘数法等方法求解。

五、多元函数微分学的应用

多元函数微分学在实际应用中具有广泛的价值。例如，在物理学中，多元函数微分学可以用来描述物体的运动状态和变化规律；在经济学中，多元函数微分学可以用来分析生产函数和消费者行为等。

1.物理学中的应用

在物理学中，多元函数微分学可以用来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。例如，通过求解拉格朗日量(L=T-V)的偏导数，可以得到物体的运动方程。

2.经济学中的应用

在经济学中，多元函数微分学可以用来分析生产函数和消费者行为。例如，通过求解生产函数(Q=f(K,L))的偏导数，可以得到边际产出和规模报酬等经济指标。

3.工程学中的应用

在工程学中，多元函数微分学可以用来优化工程设计和控制。例如，在结构工程中，通过求解结构的应力和应变函数的偏导数，可以找到结构的最优设计参数。

六、总结

多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要价值。通过学习多元函数微分学，我们可以更好地理解和掌握多元函数的性质和变化规律，为解决实际问题提供理论支持和方法指导。